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Table of Contents

  1. Problem 70A
  2. Problem 70B
  3. Problem 70D

Problem 70A #

Problem 70A (Four lemma). In an abelian category, consider the commutative diagram𝑝𝑞𝑟𝑝′𝑞′𝑟′𝑎𝛽𝛾𝛿𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′where the first and second rows are exact. Prove that if 𝛼 is epic, and 𝛽 and 𝛿 are monic, then 𝛾 is monic.Solution by finalchildBy Mitchell’s embedding theorem, move the category to a left 𝑅-module.∀𝑐∈𝐶 (𝛾𝑐=0) Plan: We will prove ∃𝑎∈𝐴 (𝑞𝑝𝑎=𝑐)Then, by the exact sequence 𝐴→𝑝𝐵→𝑞𝐶, 𝑐=𝑞𝑝𝑎=0It proves 𝛾 is monic.finding 𝑎𝛿𝑟𝑐=𝑟′𝛾𝑐=0Since 𝛿 is monic, 𝑟𝑐=0𝑐∈Ker𝑟By the exact sequence 𝐵→𝑞𝐶→𝑟𝐷, ∃𝑏∈𝐵 (𝑞𝑏=𝑐)𝑞′𝛽𝑏=𝛾𝑞𝑏=𝛾𝑐=0𝛽𝑏∈Ker𝑞′By the exact sequence 𝐴′→𝑝′𝐵′→𝑞′𝐶′ and epicness of 𝛼, ∃𝑎∈𝐴 (𝑝′𝛼𝑎=𝛽𝑏)𝛽𝑝𝑎=𝑝′𝛼𝑎=𝛽𝑏Since 𝛽 is monic, 𝑝𝑎=𝑏𝑐=𝑞𝑏=𝑞𝑝𝑎 ∎

Problem 70B #

Problem 70B (Five lemma). In an abelian category, consider the commutative diagram𝑝𝑞𝑟𝑠𝑝′𝑞′𝑟′𝑠′𝛼𝛽≅𝛾𝛿≅𝜀𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′where the two rows are exact, 𝛽 and 𝛿 are isomorphism, 𝛼 is epic, and 𝜀 is monic. Prove that 𝛾 is anisomorphism.Solution by Jihyeon Kim (김지현) (simnalamburt)Mitchell’s embedding theorem에 따라, 주어진 (small) abelian category를 left 𝑅-module의 category로 옮겨주는 full, faithful, exact functor가 존재한다. 따라서, 주어진 문제를 left 𝑅-module 로 간주하고 풀겠다. (Object는 module, morphism은 module homomorphism에 대응됨)𝛾가 isomorphism임을 증명하려면, 𝛾가 injective이고 surjective임을 diagram chasing을 통해 증명하겠다. (공공장소에서 열람하지 말것)1. 𝛾가 injective임을 증명𝑐∈𝐶를 𝛾𝑐=0을 만족하는 원소라고 하자.주어진 commutative diagram에 의해, 𝛿𝑟𝑐=𝑟′𝛾𝑐가 성립하고, 𝛾𝑐=0이므로, 𝛿𝑟𝑐=𝑟′0=0이다.𝛿가 isomorphism이므로, injective하다. 따라서 𝑟𝑐=0이다. Kernel의 정의에 의해, 𝑐∈ker𝑟이다.윗 줄이 exact sequence이므로, im𝑞=ker𝑟이다. 따라서 𝑞𝑏=𝑐 를 만족하는 𝑏∈𝐵가 존재한다.주어진 commutative diagram에 의해, 𝑞′𝛽𝑏=𝛾𝑞𝑏=𝛾𝑐=0가 성립한다. Kernel의 정의에 의해, 𝛽𝑏∈ker𝑞′이다.아랫 줄이 exact sequence이므로, im𝑝′=ker𝑞′이다. 따라서 𝑝′𝑎′=𝛽𝑏를 만족하는 𝑎′∈𝐴′가 존재한다.𝛼는 epic이므로, surjective하여, 𝛼𝑎=𝑎′를 만족하는 𝑎∈𝐴가 존재한다.주어진 commutative diagram에 의해, 𝛽𝑝𝑎=𝑝′𝛼𝑎=𝑝′𝑎′=𝛽𝑏가 성립한다.𝛽는 isomorphism이므로, injective하다. 따라서 𝑝𝑎=𝑏이다.이를 𝑐에 대해 표현하면, 𝑐=𝑞𝑏=𝑞𝑝𝑎가 된다.윗 줄이 exact sequence이므로, im𝑝=ker𝑞이다. 이는 𝑞∘𝑝=0을 의미한다. 따라서, 𝑐=𝑞𝑝𝑎=0이다.𝛾𝑐=0이면 𝑐=0이므로, 𝛾는 injective이다.2. 𝛾가 surjective임을 증명임의의 원소 𝑐′∈𝐶′에 대해, 𝛾𝑐=𝑐′를 만족하는 𝑐∈𝐶가 존재함을 보이면 된다.𝛿는 isomorphism이므로 surjective하다. 따라서 𝛿𝑑=𝑟′𝑐′를 만족하는 𝑑∈𝐷가 존재한다.주어진 commutative diagram에 의해, 𝜀𝑠𝑑=𝑠′𝛿𝑑=𝑠′𝑟′𝑐′가 성립한다.아랫 줄이 exact sequence이므로 𝑠′∘𝑟′=0이다. 따라서 𝜀𝑠𝑑=0이다.𝜀는 monic이므로 injective하다. 따라서 𝑠𝑑=0이고, kernel의 정의에 의해 𝑑∈ker𝑠이다.윗 줄이 exact sequence이므로 im𝑟=ker𝑠이다. 따라서 𝑟𝑐0=𝑑를 만족하는 𝑐0∈𝐶가 존재한다.주어진 commutative diagram에 의해 𝑟′𝛾𝑐0=𝛿𝑟𝑐0=𝛿𝑑=𝑟′𝑐′이다.따라서 𝑟′(𝛾𝑐0−𝑐′)=0이고, kernel의 정의에 의해 (𝛾𝑐0−𝑐′)∈ker𝑟′이다.아랫 줄이 exact sequence이므로 im𝑞′=ker𝑟′이다. 따라서 𝑞′𝑏′=𝛾𝑐0−𝑐′를 만족하는 𝑏′∈𝐵′가 존재한다.𝛽는 isomorphism이므로 surjective하다. 따라서 𝛽𝑏=𝑏′를 만족하는 𝑏∈𝐵가 존재한다.주어진 commutative diagram에 의해 𝛾𝑞𝑏=𝑞′𝛽𝑏=𝑞′𝑏′이다.따라서 𝛾𝑞𝑏=𝛾𝑐0−𝑐′이고, 이 식을 𝑐′에 대해 정리하면 𝑐′=𝛾𝑐0−𝛾𝑞𝑏=𝛾(𝑐0−𝑞𝑏)이다.𝑐=𝑐0−𝑞𝑏라고 하면 𝑐∈𝐶이므로, 임의의 𝑐′에 대해 𝛾𝑐=𝑐′를 만족하는 𝑐가 존재한다.따라서, 𝛾는 surjective이다.결론적으로, 𝛾는 injective이고 surjective이므로 isomorphism이다. ∎

Problem 70D #

Problem 70D (An additive category that is not abelian). Consider a category, where:•the objects are pairs of abelian groups (𝐵,𝐴) where 𝐴 is a subgroup of 𝐵.•the morphisms (𝐵,𝐴)→(𝐵′,𝐴′) are maps 𝑓:𝐵→𝐵′ where 𝑓img(𝐴)⊆𝐴′.(You can think of this similar to the 𝖯𝖺𝗂𝗋𝖳𝗈𝗉 category, seen in Chapter 73. We use abelian groups here tomake the category additive.)This category can be equivalently viewed as the category of short exact sequences 0→𝐴→𝐵→𝐵/𝐴→0of abelian groups.Show that the arrow (𝑋,0)→(𝑋,𝑋) is monic and epic, but not an isomorphism.Conclude that the category is not abelian.Solution by RanolPIs the arrow (𝑋,0)⟶𝑓(𝑋,𝑋):𝑋→𝑋 some group homomprhism? No, “the” only natural map make senseis the id𝑋.Experts should not say “natural”, “common practice”, “obvious”, or similar to learners.Even in the “naturality”, we can think both id𝑋 and the zero map for “the arrow”. Thanks to god, it is not“an arrow”. If so, since it’s abelian, we may think 𝑥↦2𝑥 or similar maps.I have no respect for this problem.1.The arrow 𝑓 is monic and epic.•The arrow 𝑓 is monicConsider following commutative diagram.𝑔ℎ𝑓(𝐵,𝐴)(𝑋,0)(𝑋,𝑋)∀𝑏∈𝐵𝑓(𝑔(𝑏))=𝑓(ℎ(𝑏))𝑓(𝑔(𝑏))+𝑓(ℎ(𝑏))−1=0𝑋𝑓(𝑔(𝑏))+𝑓(ℎ(𝑏)−1)=0𝑋𝑓(𝑔(𝑏)+ℎ(𝑏)−1)=0𝑋𝑔(𝑏)+ℎ(𝑏)−1=0𝑋(assume𝑓is injective)𝑔(𝑏)=ℎ(𝑏)Therefore, 𝑓∘𝑔=𝑓∘ℎ⟹𝑔=ℎThus, 𝑓 is monic.□•The arrow 𝑓 is epicConsider following commutative diagram𝑓𝑔ℎ(𝑋,0)(𝑋,𝑋)(𝐵,𝐴)∀𝑥∈𝑋Let's say the value of𝑓(𝑥)as𝑦𝑔(𝑓(𝑥))=ℎ(𝑓(𝑥))𝑔(𝑦)=ℎ(𝑦)Therefore, 𝑔∘𝑓=ℎ∘𝑓⟹𝑔=ℎThus, 𝑓 is epic.□2.𝑓 is not an isomorphismThe 𝑓 is isomorphism if there’s a map (𝑋,𝑋)⟶𝑔(𝑋,0) with following condition•𝑓∘𝑔=id(𝑋,𝑋), and•𝑔∘𝑓=id(𝑋,0)By definition, 𝑔img(𝑋)=0, which means (𝑓∘𝑔)(𝑥)=0, in other words 𝑓∘𝑔≠id(𝑋,𝑋).As a consequence, there’s no such 𝑔.Thus, 𝑓 is not an isomorphism□3.The category is not abelianBy proposition 70.2.6. the category cannot be abelian.Proposition 70.2.6 (Isomorphism ⟺ monic and epic)In an abelian category, a map is an isomorphism if and only if it is monic and epic.